मान लीजिए f: R rightarrow R को f(x+y)+f(x-y)= | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ है।यह एक प्रसिद्ध कोशी-प्रकार का फलन समीकरण है जिसका हल $f(x) = \cos(ax)$ है।दिया गया है $f\left(\

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$\operatorname{cosec}^{2}(1) \operatorname{cosec}(21) \sin (20)$

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(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ है।यह एक प्रसिद्ध कोशी-प्रकार का फलन समीकरण है जिसका हल $f(x) = \cos(ax)$ है।दिया गया है $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$,इसलिए $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -1$,जिसका अर्थ है $\frac{a}{2} = (2n+1)\pi$,अर्थात $a = 2(2n+1)\pi$।किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए,$f(k) = \cos(2(2n+1)\pi k) = \cos(2m\pi) = 1$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।अतः,व्यंजक $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)}$ बन जाता है।सर्वसमिका $\frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)} = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\sin((k+1)-k)}{\sin(k) \sin(k+1)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} (\cot(k) - \cot(k+1))$ का उपयोग करते हुए।$k=1$ से $20$ तक योग करने पर,हमें $\frac{1}{\sin(1)} (\cot(1) - \cot(21))$ प्राप्त होता है।$= \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)}{\sin(1)} - \frac{\cos(21)}{\sin(21)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)\sin(21) - \sin(1)\cos(21)}{\sin(1)\sin(21)} \right)$.$= \frac{\sin(21-1)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \frac{\sin(20)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \operatorname{cosec}^2(1) \operatorname{cosec}(21) \sin(20)$.

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$f: R \rightarrow R$ एक फलन इस प्रकार है कि $f(0)=1$ और सभी $x, y \in R$ के लिए $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ है। तो $x=e$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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