मान लीजिए कि f एक ऐसा फलन है कि सभी x और y के | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x) = cx$ है।अवकलन की परिभाषा

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$9$

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(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x) = cx$ है।अवकलन की परिभाषा के अनुसार: $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h)}{h}$.दिया गया है कि $f(x) = (2x^2 + 3x)g(x)$,इसलिए $f(h) = (2h^2 + 3h)g(h)$.इस मान को अवकलन के सूत्र में रखने पर: $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{(2h^2 + 3h)g(h)}{h} = \lim_{h 	o 0} (2h + 3)g(h)$.चूंकि $g(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{h 	o 0} g(h) = g(0) = 3$.अतः,$f'(x) = (2(0) + 3) 	imes 3 = 3 	imes 3 = 9$.

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