मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x) + f(2x) = 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है। $x = 0$ रखने पर,हमें $f(0) + f(0) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0) =

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$1$

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x) + f(2x) = 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है। $x = 0$ रखने पर,हमें $f(0) + f(0) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0) = 0$,अतः $f(0) = 0$। दिए गए समीकरण से,$f(x) = -f(x/2)$। इस संबंध को दोहराने पर,हमें $f(x) = -f(x/2) = f(x/4) = -f(x/8) = \dots = (-1)^n f(x/2^n)$ प्राप्त होता है। चूंकि $f$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{n 	o \infty} f(x/2^n) = f(\lim_{n 	o \infty} x/2^n) = f(0) = 0$। अतः,$f(x) = \lim_{n 	o \infty} (-1)^n f(x/2^n) = 0$। इसलिए,शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र सतत फलन शून्य फलन $f(x) = 0$ है। अतः,ऐसे केवल $1$ फलन संभव हैं।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। ऐसे कितने सतत फलन $f: R \rightarrow R$ हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) + f(2x) = 0$ है?

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दिया गया फलन $f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}, (a > 2)$ है,तो $f(x + y) + f(x - y)$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x)$ एक बहुपद फलन है जो शर्त $f(x) \cdot f(1/x) = f(x) + f(1/x)$ और $f(2) = 9$ को संतुष्ट करता है,तो:

यदि $f(x) = \frac{x}{x - 1}$ है,तो $\frac{f(a)}{f(a + 1)} = $

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