मान लीजिए a, b in R-{0},और I_2 कोटि 2 का तत्स | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है। चूंकि $a, b \in R-\{0\}$,हम ब्लॉक आव्यूह पर पंक्ति संक्रियाएं कर

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$2$

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(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है। चूंकि $a, b \in R-\{0\}$,हम ब्लॉक आव्यूह पर पंक्ति संक्रियाएं कर सकते हैं। पहली ब्लॉक पंक्ति को दूसरी ब्लॉक पंक्ति से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $M \sim \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \ a I_2 - a I_2 & b I_2 - b I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$। आव्यूह की कोटि (rank) रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या होती है। यहाँ,पहली ब्लॉक पंक्ति $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है,जो शून्य नहीं है क्योंकि $a 
eq 0$ है। दूसरी ब्लॉक पंक्ति शून्य आव्यूह है। अतः,आव्यूह की कोटि $a I_2$ की कोटि के बराबर है,जो $2$ है।

मान लीजिए $a, b \in R-\{0\}$,और $I_2$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है। तो ब्लॉक आव्यूह $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

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यदि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है, तो $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

$b$ का वह मान जिसके लिए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है,है

निम्नलिखित आव्यूह $A$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & x^2 & 3x^2 \\ 1 & -6 & 4 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,जहाँ $p$ एक स्थिरांक है,तो $\frac{d^3f(x)}{dx^3}$ क्या है?

यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ है,तो $A_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

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