मान लीजिए R=(5 sqrt{5}+11)^{2 n+1} और f=R-[R] | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,$R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ और $f=R-[R]=\{R\}$.यदि $I$,$R$ का पूर्णांक भाग है,तो $R=I+f=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1} \dots (i)$,जहाँ $0 < f

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$4^{2 n+1}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है,$R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ और $f=R-[R]=\{R\}$.यदि $I$,$R$ का पूर्णांक भाग है,तो $R=I+f=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1} \dots (i)$,जहाँ $0 $f_1=(5 \sqrt{5}-11)^{2 n+1}$ लें। चूँकि $5 \sqrt{5} = \sqrt{125} \approx 11.18$,इसलिए $0 द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $R$ और $f_1$ का विस्तार करने पर:$R = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (11)^k$$f_1 = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (-11)^k$$R$ और $f_1$ को जोड़ने पर:$R+f_1 = 2 \sum_{k 	ext{ even}} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (11)^k = 	ext{सम पूर्णांक } (2K)$.चूँकि $R = I+f$,हमारे पास $I+f+f_1 = 2K$ है,जिसका अर्थ है $f+f_1 = 2K-I = 	ext{पूर्णांक}$.चूँकि $0 यहाँ $(5 \sqrt{5})^2 - 11^2 = 125 - 121 = 4$.अतः $R \cdot f_1 = (125-121)^{2n+1} = 4^{2n+1}$.दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $4^{2n+1}$ है।

मान लीजिए $R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ और $f=R-[R]$,जहाँ $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है,तो $R f=$

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