ધારો કે $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: N \rightarrow N$ એવું છે કે $1990 < f(1990) < 2100$ અને તે સમીકરણ $x-f(x)=19[\frac{x}{19}]-90[\frac{f(x)}{90}]$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $[y]$ એ $y$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. તો $f(1990)$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $f: R-\{0\} \rightarrow R$ એ $f(x)=x+\frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને જો $k \geq 1$ માટે $f^k(x)=[f(x)]^k$ હોય,તો $f^4(x)-f(x^4)-4f^2(x)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = |x|$ અને $g(x) = |x| + a$,જ્યાં $a > 0$. $0 \leq x \leq b$ માટે,ગણ $\{(x, y) \mid g(x) \leq y \leq f(x)\}$ એ નીચેનામાંથી કોના અંદરના તમામ બિંદુઓ દર્શાવે છે:

ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે,${x} = x - [x]$,$\sqrt{2} = 1.414$ અને $\sqrt{3} = 1.732$. જો $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\}$ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોય,તો $f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{3}) = $

વિધેય $f: [\frac{1}{2}, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ને $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદે છે.
$(II)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને $x = \cos \frac{\pi}{12}$ પર છેદે છે.
તો:

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $X$ એ $S$ થી $S$ પરના તમામ સંબંધો $R$ નો ગણ છે જે નીચેની બંને શરતોનું પાલન કરે છે:
$i$. $R$ માં બરાબર $6$ ઘટકો છે.
$ii$. દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$|a-b| \geq 2$ છે.
ધારો કે $Y = \{R \in X : R \text{ નો વિસ્તાર બરાબર એક ઘટક ધરાવે છે}\}$ અને $Z = \{R \in X : R \text{ એ } S \text{ થી } S \text{ પરનું વિધેય છે}\}$.
ધારો કે $n(A)$ એ ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ જો $n(X) = {}^{m}C_{6}$ હોય,તો $m$ ની કિંમત . . . . છે.
$(2)$ જો $n(Y) + n(Z)$ ની કિંમત $k^{2}$ હોય,તો $|k|$ ની કિંમત . . . . છે.