मान लीजिए कि $P(x_1, y_1, z_1)$ बिंदु $Q(2, -2, 1)$ से समतल $x - 2y + z = 1$ पर खींचे गए लंब का पाद है। यदि $d$ बिंदु $Q$ से समतल की लंबवत दूरी है और $l = x_1 + y_1 + z_1$ है,तो $l + 3d^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P$,बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $5x - 4y - z = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि बिंदु $T(2, 1, 4)$ से रेखा $QR$ पर डाले गए लंब का पाद $S$ है,तो रेखाखंड $PS$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $(1, 2, 4)$ से रेखा $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3}$ पर डाले गए लंब का पाद $P$ है। तो समतल $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{j}-\hat{k}$ से गुजरने वाली रेखा और बिंदुओं $2 \hat{i}+\hat{j}$, $2 \hat{j}-\hat{k}$, तथा $\hat{i}+2 \hat{k}$ से गुजरने वाले समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}$ पर स्थित एक बिंदु $P$ से समतल $x + y + z = 3$ पर एक लंब खींचा जाता है,ताकि लंब का पाद $Q$ समतल $x - y + z = 3$ पर भी स्थित हो। तो $Q$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L$ एक रेखा है जो $2 \hat{i}+3 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। मान लीजिए $P$ एक समतल है जो $-5 \hat{i}+19 \hat{j}-14 \hat{k}$ से होकर गुजरता है और $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर है। यदि $L$ समतल $P$ को बिंदु $A$ पर मिलता है, तो $A$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।