माना A दीर्घवृत्त S equiv frac{x^2}{4}+frac{y | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त $S$ है $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$। इसके शीर्ष $(0, \pm 3)$ हैं। माना $A = (0, 3)$।दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\fra

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$7$

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(C) दीर्घवृत्त $S$ है $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$। इसके शीर्ष $(0, \pm 3)$ हैं। माना $A = (0, 3)$।दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए,दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर है,$a^2=9, b^2=4$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं।माना $F = (\sqrt{5}, 0)$। बिंदु $P$,$\overline{OF}$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$P = \left(\frac{2(\sqrt{5})+1(0)}{2+1}, 0ight) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0ight)$।$A(0, 3)$ और $P\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0ight)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y - 3 = \frac{0-3}{\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}(x-0)$ है,जो सरल होकर $y = -\frac{9}{2\sqrt{5}}x + 3$ हो जाता है।$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x$ को $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{(3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।$\frac{x^2}{4} + \frac{9(1 - \frac{3}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ $\Rightarrow \frac{x^2}{4} + 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}x + \frac{9}{20}x^2 = 1$।$\frac{5x^2 + 9x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow \frac{14x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow x = 0$ या $x = \frac{3}{\sqrt{5}} 	imes \frac{20}{14} = \frac{30}{7\sqrt{5}}$।$x = \frac{30}{7\sqrt{5}}$ के लिए,$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}(\frac{30}{7\sqrt{5}}) = 3 - \frac{270}{70} = 3 - \frac{27}{7} = -\frac{6}{7}$।जीवा की लंबाई $\sqrt{(\frac{30}{7\sqrt{5}} - 0)^2 + (-\frac{6}{7} - 3)^2} = \sqrt{\frac{900}{49 	imes 5} + (-\frac{27}{7})^2} = \sqrt{\frac{180}{49} + \frac{729}{49}} = \sqrt{\frac{909}{49}} = \frac{3\sqrt{101}}{7}$।अतः,$k=7$।

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