मान लीजिए $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है। यदि $\triangle SBS^{\prime}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

$100$ व्यक्तियों के एक समूह में $75$ अंग्रेजी बोलते हैं और $40$ हिंदी बोलते हैं। प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक भाषा बोलता है। यदि केवल अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\alpha$ है और केवल हिंदी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\beta$ है,तो दीर्घवृत्त $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ की उत्केंद्रता $.......$ है।

$P$ प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ के नाभिलंब का एक सिरा है। $P$ का उत्केंद्र कोण क्या है?

मान लीजिए $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक चर बिंदु है,जिसके नाभियाँ $F_1$ और $F_2$ हैं। यदि $A$ त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल है,तो $A$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि रेखा $y = 2x + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ की स्पर्शरेखा है,तो $c = $

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की $2$ ढाल वाली स्पर्श रेखा वृत्त $x^2+y^2=4$ को स्पर्श करती है,तो $ab$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।