ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & \frac{-1}{3} & \frac{-1}{6} \\ \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{-1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$. જો દરેક $l, m, n \in N$ માટે $A^{2016l} + A^{2017m} + A^{2018n} = \frac{1}{\alpha} A$ હોય, તો $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 4\alpha & -2\alpha \end{bmatrix} + \text{adj}(A)$ છે. જો $\det(B) = 66$ હોય, તો $\det(\text{adj}(A))$ ની કિંમત શોધો:

નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2-2A=$

$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|, x \in R$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

જો $AB = A$ અને $BA = B$ હોય,તો