माना $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & \frac{-1}{3} & \frac{-1}{6} \\ \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{-1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$ है। यदि प्रत्येक $l, m, n \in N$ के लिए $A^{2016l} + A^{2017m} + A^{2018n} = \frac{1}{\alpha} A$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सदिश $x_{1}, x_{2}$ और $x_{3}$ रैखिक समीकरणों के निकाय $Ax = b$ के हल हैं,जब दाईं ओर का सदिश $b$ क्रमशः $b_{1}, b_{2}$ और $b_{3}$ के बराबर है। यदि $x_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, b_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ और $b_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ का सारणिक किसके बराबर है?

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$ है। यदि $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ है और $C$ के विकर्ण तत्वों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m+n$ का मान है:

यदि $a, b, c$ तीन सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ और $\begin{vmatrix} (b^2 + c^2) & ab & ac \\ ab & (c^2 + a^2) & bc \\ ac & bc & (a^2 + b^2) \end{vmatrix} = K a^2 b^2 c^2$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ और $B$ कोई दो $n \times n$ आव्यूह हैं ताकि निम्नलिखित शर्तें पूरी हों: $A B=B A$ और ऐसे धनात्मक पूर्णांक $k$ और $l$ मौजूद हैं कि $A^k=I$ (तत्समक आव्यूह) और $B^l=0$ (शून्य आव्यूह)। तो,

मान लीजिए $|M|$ एक वर्ग आव्यूह $M$ के सारणिक को दर्शाता है। मान लीजिए $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ वह फलन है जो $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$ है। मान लीजिए $p(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल फलन $g(\theta)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,और $p(2)=2-\sqrt{2}$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से $TRUE$ है/हैं?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$