ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 4\alpha & -2\alpha \end{bmatrix} + \text{adj}(A)$ છે. જો $\det(B) = 66$ હોય, તો $\det(\text{adj}(A))$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $M$ અને $N$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $MN = NM$. વધુમાં,જો $M \neq N^2$ અને $M^2 = N^4$ હોય,તો:
$(A)$ $(M^2 + MN^2)$ નો નિશ્ચાયક $0$ છે
$(B)$ એક $3 \times 3$ શૂન્યતર શ્રેણિક $U$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $(M^2 + MN^2)U$ એ શૂન્ય શ્રેણિક થાય
$(C)$ $(M^2 + MN^2)$ નો નિશ્ચાયક $\geq 1$ છે
$(D)$ $3 \times 3$ શ્રેણિક $U$ માટે,જો $(M^2 + MN^2)U$ શૂન્ય શ્રેણિક હોય તો $U$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 11 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 2 \\ 7 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ છે. $|P^{-1}AP - 2I|$ ના અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$A$ અને $B$ એ બે $3 \times 3$ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકો છે જેથી $\operatorname{adj} A = |A| B$ થાય. જો $\operatorname{tr}(X)$ એ ચોરસ શ્રેણિક $X$ નો ટ્રેસ દર્શાવે અને $C = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 7 \\ 3 & -2 & 5 \\ -2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$ હોય, તો $\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે શ્રેણિક $X$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $X^T$ છે. તો પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $Q$ ની સંખ્યા,કે જેથી $Q^{-1} = Q^T$ અને $PQ = QP$ થાય,તે કેટલી છે?

જો $P$ એ $P^2=P$ ધરાવતો ચોરસ શ્રેણિક હોય અને જો $I$ એ $P$ ના સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક હોય,તો $(P+I)^4=$