मान लीजिए A = begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 0 & 1 | vedclass

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Question

(B) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है। $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \ 0 & 1-\lambda &

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$\frac{-1}{3}$

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(B) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है। $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \ 0 & 1-\lambda & 0 \ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = -(\lambda-1)^2(\lambda-3) = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0$. कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, $A^3 - 5A^2 + 7A - 3I = 0$ है। $A^{-1}$ से गुणा करने पर, $A^2 - 5A + 7I - 3A^{-1} = 0$, जिसका अर्थ है $A^{-1} = \frac{1}{3}A^2 - \frac{5}{3}A + \frac{7}{3}I$। इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ से करने पर, हमें $\alpha = \frac{1}{3}$, $\beta = -\frac{5}{3}$, और $\gamma = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है। अतः, $17\alpha + 5\beta + \gamma = 17(\frac{1}{3}) + 5(-\frac{5}{3}) + \frac{7}{3} = \frac{17 - 25 + 7}{3} = \frac{-1}{3}$।

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