मान लीजिए कि f:[-1,2] rightarrow R को f(x)=[x | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ है।हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)]$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ एक पूर्णांक होता है।यहाँ, $g(x) = x

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$3$

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(C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ है।हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)]$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ एक पूर्णांक होता है।यहाँ, $g(x) = x^2 - 3$ है।$x \in (-1, 2)$ के लिए, $g(x) = x^2 - 3$ का परिसर:जब $x = -1$, $g(x) = (-1)^2 - 3 = -2$ है।जब $x = 0$, $g(x) = 0^2 - 3 = -3$ है।जब $x = 2$, $g(x) = 2^2 - 3 = 1$ है।अतः, $x \in (-1, 2)$ के लिए, $g(x)$ अंतराल $(-3, 1)$ में मान लेता है।इस अंतराल में $g(x)$ जो पूर्णांक मान लेता है, वे $\{-2, -1, 0\}$ हैं।हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $x^2 - 3 = k$ हो, जहाँ $k \in \{-2, -1, 0\}$ है।$1$) $x^2 - 3 = -2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं, केवल $x = 1$ अंतराल में है।$2$) $x^2 - 3 = -1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं, केवल $x = \sqrt{2}$ अंतराल में है।$3$) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं, केवल $x = \sqrt{3}$ अंतराल में है।इस प्रकार, असंततता के बिंदु $x \in \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ हैं।असंतत बिंदुओं की कुल संख्या $3$ है।

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$f : R \rightarrow R$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}$ सभी $x$ के लिए सतत है।

$f$ के सभी असंततता के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \\ 2, & \text{यदि } 0 < x \leq 1 \end{cases}$ और मान लीजिए $F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt, -1 \leq x \leq 1$. तो:

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