मान लीजिए f: R rightarrow R को f(x) = begin{c | vedclass

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Question

(B) $f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1) = 1$ होना चाहिए। सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ पर विचा

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$1$

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(B) $f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1) = 1$ होना चाहिए। सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} (a - \frac{\sin [x-1]}{x-1})$। $x > 1$ और $x$ के $1$ के बहुत करीब होने पर,$0 अतः,$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = a - \frac{\sin(0)}{x-1} = a - 0 = a$। चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है। अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} (b - [\frac{\sin [x-1] - [x-1]}{([x-1])^3}])$। $x अतः,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = b - [\frac{\sin(-1) - (-1)}{(-1)^3}] = b - [\frac{-\sin(1) + 1}{-1}] = b - [\sin(1) - 1]$। चूंकि $0 अतः सबसे बड़ा पूर्णांक $[\sin(1) - 1] = -1$ होगा। इसलिए,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = b - (-1) = b + 1$। इसे $f(1) = 1$ के बराबर रखने पर,$b + 1 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 0$। अतः,$a + b = 1 + 0 = 1$।

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{2^x + 2^{3-x} - 6}{\sqrt{2^{-x}} - 2^{1-x}} & \text{यदि } x > 2 \\ \frac{x^2 - 4}{x - \sqrt{3x - 2}} & \text{यदि } x < 2 \end{cases}$. $x = 2$ पर फलन की प्रकृति निर्धारित करें।

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