ધારો કે $a=\hat{i}+\hat{j}$, $b=\hat{j}+\hat{k}$ અને $c=\hat{i}+\hat{k}$ છે. જો $d$ એક એવો એકમ સદિશ હોય કે જેથી $a \cdot d=0$ અને $b \cdot(c \times d)=0$ થાય, તો $d=$

જો $a, b, c$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\lambda$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો સદિશો $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ અને $(2\lambda - 1)c$ કઈ કિંમતો માટે અસમતલીય થશે?

એક સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું મહત્તમ ઘનફળ (ઘન એકમોમાં) શું હશે, જેના સહ-આશ્રિત કિનારીઓ સદિશો $\vec{u} = 2a\hat{i} + \hat{k}$, $\vec{v} = a\hat{j} - a\hat{k}$, અને $\vec{w} = 3\hat{i} + a\hat{j}$ છે, જ્યાં $a \in [0, 1]$ છે?

$\lambda$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા,જેના માટે સદિશો $-\lambda^2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-\lambda^2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}-\lambda^2 \hat{k}$ સમતલીય હોય,તે છે

ધારો કે $\vec{a} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k})$, $\vec{b} = (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$, અને $\vec{c} = (c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k})$ ત્રણ શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે. જો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય, તો $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$, $b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ હોય, તો $a+b$, $b+c$, $c+a$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો.