मान लीजिए a = hat{i} - 2hat{j} + 3hat{k} और b | vedclass

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Question

(A) दिए गए सदिश $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।अदिश त्रिक गुणनफल $[a \ b \ c]$ को $(a 	imes b) \cdot c

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए सदिश $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।अदिश त्रिक गुणनफल $[a \ b \ c]$ को $(a 	imes b) \cdot c$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।सबसे पहले, सदिश गुणनफल $a 	imes b$ की गणना करें:$a 	imes b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -2 & 3 \ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 4) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.इसका परिमाण $|a 	imes b| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।चूंकि $[a \ b \ c] = (a 	imes b) \cdot c = |a 	imes b| |c| \cos 	heta$, जहाँ $	heta$ सदिश $(a 	imes b)$ और $c$ के बीच का कोण है।अदिश त्रिक गुणनफल को अधिकतम होने के लिए, $\cos 	heta = 1$ होना चाहिए (अर्थात $	heta = 0^\circ$), जिसका अर्थ है कि $c$ को $(a 	imes b)$ की दिशा में होना चाहिए।चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है, $c = \frac{a 	imes b}{|a 	imes b|} = \frac{-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

मान लीजिए $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $c$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $[a \ b \ c]$ अधिकतम है, तो $c =$

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$\lambda$ के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - \lambda^2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + \hat{j} - \lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं?

$i \cdot (j \times k) + j \cdot (k \times i) + k \cdot (i \times j) = $

यदि सदिश $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ समतलीय नहीं हैं, तो सदिश $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})+(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b})+(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$ है

$a$ का वह मान जिसके लिए $\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो,है

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