मान लीजिए a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनम | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{3} \log _{b} a+\frac{3}{5} \log _{c} b+\frac{5}{2} \log _{a} c=3$.माना $x = \frac{2}{3} \log _{b} a$, $y = \frac{3}{5}

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$27$

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(D) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{3} \log _{b} a+\frac{3}{5} \log _{c} b+\frac{5}{2} \log _{a} c=3$.माना $x = \frac{2}{3} \log _{b} a$, $y = \frac{3}{5} \log _{c} b$, और $z = \frac{5}{2} \log _{a} c$.यहाँ $x \cdot y \cdot z = (\frac{2}{3} \log _{b} a) \cdot (\frac{3}{5} \log _{c} b) \cdot (\frac{5}{2} \log _{a} c) = 1$ है।अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार, यदि $x+y+z=3$ और $xyz=1$ है, तो $x=y=z=1$ होगा।अतः, $\frac{2}{3} \log _{b} a = 1 \Rightarrow \log _{b} a = \frac{3}{2}$.$b=9$ रखने पर, $\log _{9} a = \frac{3}{2}$.इसलिए, $a = 9^{3/2} = 27$.

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