ધારો કે S એ અનંત શ્રેણી 1+frac{8}{2!}+frac{21 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) અંશમાં રહેલી શ્રેણી $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ નું સામાન્ય પદ $T_n$ તફાવતની રીત દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ તફાવતો $7, 13, 19, 25, \ldots$ છે, જે $

Vedclass · Accepted Answer

$8 < S < 12$

Vedclass · Answer

(C) અંશમાં રહેલી શ્રેણી $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ નું સામાન્ય પદ $T_n$ તફાવતની રીત દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ તફાવતો $7, 13, 19, 25, \ldots$ છે, જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. આમ, $T_n = an^2 + bn + c$. $n=1$ માટે, $T_1 = a+b+c = 1$. $n=2$ માટે, $T_2 = 4a+2b+c = 8$. $n=3$ માટે, $T_3 = 9a+3b+c = 21$. આને ઉકેલતા, આપણને $a=3, b=-2, c=0$ મળે છે. તેથી, $T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$. શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ છે. પ્રથમ પદ $1$ ($n=1$ માટે) હોવાથી, આપણે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ લખી શકીએ. ધારો કે $k = n-1$, તો $n = k+1$. $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$. કારણ કે $2 તેથી, $8 < S < 12$.

ધારો કે $S$ એ અનંત શ્રેણી $1+\frac{8}{2!}+\frac{21}{3!}+\frac{40}{4!}+\frac{65}{5!}+\ldots$ નો સરવાળો દર્શાવે છે. તો

Similar Questions

$\frac{1}{2!} + \frac{1 + 2}{3!} + \frac{1 + 2 + 3}{4!} + \dots \infty = $

શ્રેણી $\frac{2}{2 !} + \frac{2+4}{3 !} + \frac{2+4+6}{4 !} + \ldots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

$(e^x - 1)(e^{-x} + 1)$ ના વિસ્તરણમાં,$x^3$ નો સહગુણક શોધો.

$(2+3x)e^{-x}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{10}$ નો સહગુણક શું છે?

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module