मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है। तो, समीकरण $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ (जहाँ $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है) के मूल ज्ञात कीजिए।

माना $A = \begin{bmatrix} \alpha & -1 \\ 6 & \beta \end{bmatrix}$,$\alpha > 0$,इस प्रकार है कि $\operatorname{det}(A) = 0$ और $\alpha + \beta = 1$ है। यदि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है,तो आव्यूह $(I + A)^8$ क्या होगा?

माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ और $P = [p_{ij}]$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है जहाँ $p_{ij} = \omega^{i+j}$ है। यदि $P^2 \neq 0$ है और $P^k = P$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है। $k \in N$ के लिए,यदि $X^{T} A^{k} X = 33$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,जहाँ $\alpha = \alpha(\theta)$ और $\beta = \beta(\theta)$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। यदि $\alpha^*$ समुच्चय $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है और $\beta^*$ समुच्चय $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है,तो $\alpha^* + \beta^*$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $p$ एक विषम अभाज्य संख्या है और $T_p$ निम्नलिखित $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो या तो सममित हैं या विषम-सममित हैं या दोनों हैं,और $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका ट्रेस $p$ से विभाज्य नहीं है लेकिन $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका $\det(A)$,$p$ से विभाज्य नहीं है:
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$