मान लीजिए u+v+w=3, जहाँ u, v, w in mathbb{R} | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = u x^2 + v x + w$. चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y) + x y$, हम $f$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं: $u(x+y)^2 + v(x+y) + w = (u

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$3$

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(D) दिया गया है $f(x) = u x^2 + v x + w$. चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y) + x y$, हम $f$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं: $u(x+y)^2 + v(x+y) + w = (u x^2 + v x + w) + (u y^2 + v y + w) + x y$. बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $u(x^2 + 2 x y + y^2) + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$. $u x^2 + 2 u x y + u y^2 + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$. दोनों पक्षों में $x y$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें $2 u = 1$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $u = \frac{1}{2}$. अचर पदों की तुलना करने पर, हमें $w = 2 w$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $w = 0$. दिया गया है $u + v + w = 3$, इसलिए $u = \frac{1}{2}$ और $w = 0$ रखने पर: $\frac{1}{2} + v + 0 = 3 \implies v = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. अतः, $f(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} x$. $f(1)$ की गणना करने पर: $f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

मान लीजिए $u+v+w=3$, जहाँ $u, v, w \in \mathbb{R}$ और $f(x)=u x^2+v x+w$ इस प्रकार है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)+x y$, सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए। तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f: R-\{0\} \rightarrow R$ एक फलन है जो सभी $x, y$ के लिए $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(y) \neq 0$ है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$ है,तो:

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