मान लीजिए f(x)=|1-2 x|, तो | vedclass

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Question

(A) मापांक फलन को टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $f(x)= \begin{cases} 1-2x, & 	ext{यदि } x \leq \frac{1}{2} \ 2x-1, & \

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$, $x=\frac{1}{2}$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(A) मापांक फलन को टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $f(x)= \begin{cases} 1-2x, & 	ext{यदि } x \leq \frac{1}{2} \ 2x-1, & 	ext{यदि } x > \frac{1}{2} \end{cases}$ $x=\frac{1}{2}$ पर सांतत्य की जाँच करें: बायां सीमा: $\lim_{x ightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}} (1-2x) = 1-2(\frac{1}{2}) = 0$. दायां सीमा: $\lim_{x ightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}} (2x-1) = 2(\frac{1}{2})-1 = 0$. फलन का मान: $f(\frac{1}{2}) = |1-2(\frac{1}{2})| = 0$. चूंकि बायां सीमा, दायां सीमा और फलन का मान समान हैं, इसलिए फलन $x=\frac{1}{2}$ पर सतत है। $x=\frac{1}{2}$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: बायां अवकलज: $f'(x) = \frac{d}{dx}(1-2x) = -2$ जब $x दायां अवकलज: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$ जब $x > \frac{1}{2}$. चूंकि बायां अवकलज $(-2)$ और दायां अवकलज $(2)$ समान नहीं हैं, इसलिए फलन $x=\frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x)=|1-2 x|$, तो

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