ધારો કે f અને g એ અંતરાલ I પર વિકલનીય છે અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A, C) વિધેય $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.કારણ કે $f$ અને $g$ એ $I$ પર વિકલનીય છે, તેથી $h(x)$ પણ $I$ પર વિકલનીય છે.આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f

Vedclass · Accepted Answer

જો $g(a)=0=g(b)$ હોય, તો સમીકરણ $g^{\prime}(x)+k g(x)=0$ એ $(a, b)$ માં ઉકેલી શકાય છે, $k \in R$.

Vedclass · Answer

(A, C) વિધેય $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.કારણ કે $f$ અને $g$ એ $I$ પર વિકલનીય છે, તેથી $h(x)$ પણ $I$ પર વિકલનીય છે.આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$, તેથી $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ અને $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ થાય.રોલના પ્રમેય મુજબ, $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $h^{\prime}(c) = 0$ થાય.$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$.$e^{g(x)} 
eq 0$ હોવાથી, $h^{\prime}(c) = 0$ નો અર્થ છે કે $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$.આમ, વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.તે જ રીતે, વિકલ્પ $(c)$ માટે, $m(x) = e^{kx} g(x)$ ધ્યાનમાં લો.$g(a) = 0$ અને $g(b) = 0$ હોવાથી, $m(a) = 0$ અને $m(b) = 0$ થાય.રોલના પ્રમેય મુજબ, $(a, b)$ માં $c$ એવું મળે કે જેથી $m^{\prime}(c) = 0$ થાય.$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$.$e^{kx} 
eq 0$ હોવાથી, $m^{\prime}(c) = 0$ નો અર્થ છે કે $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$.આમ, વિકલ્પ $(c)$ પણ સાચો છે.

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $I$ પર વિકલનીય છે અને $a, b \in I, a < b$ છે. તો,

Similar Questions

જો વિધેય $f$ એ $R$ પર વિકલનીય હોય અને તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 4$ હોય; અને જો $f(2)=-6$ અને $f(6)=8$ હોય,તો $f(4)$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?

અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$,જ્યાં $x \in [0,4]$. જો લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરી શકાય,તો $c$ ની કિંમતો શોધો.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f:[-1,1] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module