मान लीजिए कि f और g अंतराल I पर अवकलनीय हैं औ | vedclass

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Question

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं, इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।दिया गया है कि $f(a) = 0

Vedclass · Accepted Answer

यदि $g(a)=0=g(b)$ है, तो समीकरण $g^{\prime}(x)+k g(x)=0$ को $(a, b)$ में हल किया जा सकता है, $k \in R$।

Vedclass · Answer

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं, इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$, इसलिए $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ और $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ है।रोल के प्रमेय के अनुसार, $(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $h^{\prime}(c) = 0$ हो।$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$।चूंकि $e^{g(x)} 
eq 0$, इसलिए $h^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$ है।अतः, विकल्प $(a)$ सही है।इसी प्रकार, विकल्प $(c)$ के लिए, $m(x) = e^{kx} g(x)$ पर विचार करें।चूंकि $g(a) = 0$ और $g(b) = 0$, इसलिए $m(a) = 0$ और $m(b) = 0$ है।रोल के प्रमेय के अनुसार, $(a, b)$ में $c$ ऐसा विद्यमान है कि $m^{\prime}(c) = 0$ हो।$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$।चूंकि $e^{kx} 
eq 0$, इसलिए $m^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$ है।अतः, विकल्प $(c)$ भी सही है।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं और $a, b \in I, a < b$ है। तो,

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मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर संतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ सभी $x \in (1,3)$ के लिए है। तो:

अंतराल $x \in [-6, 0]$ पर फलन $f(x) = x \sqrt{x+6}$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों और निष्कर्षों को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है:

फलन $f(x) = e^x$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर जहाँ $a = 0$ और $b = 1$ है,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $c$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x)$,$[1, 2]$ में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f(x)$,$[1, 2]$ में सतत है,तो $\int_1^2 f'(x) dx$ का मान क्या होगा?

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