अंतराल x in [-6, 0] पर फलन f(x) = x sqrt{x+6} | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x \sqrt{x+6}$ अंतराल $[-6, 0]$ पर।सबसे पहले,रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:$1$. $f(x)$,$[-6, 0]$ पर सतत है।$2$. $f(x)

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$-4$

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(A) दिया गया फलन: $f(x) = x \sqrt{x+6}$ अंतराल $[-6, 0]$ पर।सबसे पहले,रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:$1$. $f(x)$,$[-6, 0]$ पर सतत है।$2$. $f(x)$,$(-6, 0)$ पर अवकलनीय है।$3$. $f(-6) = -6 \sqrt{-6+6} = 0$ और $f(0) = 0 \sqrt{0+6} = 0$। चूँकि $f(-6) = f(0)$,सभी शर्तें पूरी होती हैं।अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+6}} + \sqrt{x+6} \cdot 1 = \frac{x + 2(x+6)}{2\sqrt{x+6}} = \frac{3x + 12}{2\sqrt{x+6}}$।रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-6, 0)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।$\frac{3c + 12}{2\sqrt{c+6}} = 0$$3c + 12 = 0$$3c = -12$$c = -4$।चूँकि $-4 \in (-6, 0)$,इसलिए $c$ का मान $-4$ है।

अंतराल $x \in [-6, 0]$ पर फलन $f(x) = x \sqrt{x+6}$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों और निष्कर्षों को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है:

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