रोल का प्रमेय [-1, 1] पर परिभाषित फलन f(x) = | vedclass

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Question

(B) फलन को $f(x) = \begin{cases} -x, & 	ext{यदि } -1 \le x < 0 \ x, & 	ext{यदि } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।सबसे पह

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$f$,$(-1, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(B) फलन को $f(x) = \begin{cases} -x, & 	ext{यदि } -1 \le x सबसे पहले,हम रोल के प्रमेय की शर्तों की जाँच करते हैं:$1$. $f(x)$,$[-1, 1]$ पर सतत है।$2$. $f(-1) = |-1| = 1$ और $f(1) = |1| = 1$,इसलिए $f(-1) = f(1)$ है।$3$. हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:दायां अवकलज: $Rf'(0) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{h}{h} = 1$.बायां अवकलज: $Lf'(0) = \lim_{h 	o 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.चूंकि $Rf'(0) 
eq Lf'(0)$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-1, 1)$ अंतराल में स्थित है।इसलिए,रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि फलन $(-1, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।

रोल का प्रमेय $[-1, 1]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए लागू नहीं होता है क्योंकि

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यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_{e} x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होने हेतु $c$ का मान क्या है?

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