ધારો કે R એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે, $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
eq 0 \ 0, & x=0 \end{cases}$.$x=0$ આગળ સાતત્ય: $LHL = \lim_{x ightarrow 0^-} x \sin \f

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એ $[0,1]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે, $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
eq 0 \ 0, & x=0 \end{cases}$.$x=0$ આગળ સાતત્ય: $LHL = \lim_{x ightarrow 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$ અને $RHL = \lim_{x ightarrow 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$. $LHL = RHL = f(0)$ હોવાથી, $f(x)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત છે.$x=0$ આગળ વિકલનીયતા: $f'(0) = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \sin(1/h)$. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી કારણ કે તે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે. તેથી, $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી.રોલના પ્રમેય માટે $f(a) = f(b)$ અને $(a, b)$ પર વિકલનીયતા જરૂરી છે. $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય ન હોવાથી, તે $[-1, 1]$ કે $[0, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું નથી.લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ માટે $[a, b]$ પર સાતત્ય અને $(a, b)$ પર વિકલનીયતા જરૂરી છે. અંતરાલ $[0, 1]$ માટે, $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે. તેથી, તે $[0, 1]$ પર $LMVT$ ની શરતોનું પાલન કરે છે.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f:[-1,1] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો:

Similar Questions

અંતરાલ $[1, 3]$ પર વિધેય $f(x) = \log_e x$ માટે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $c$ ની કઈ કિંમત મળે?

જો $a + b + c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના અંતરાલ $(0, 1)$ માં કેટલા બીજ હોય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module