અંતરાલ $[1, 3]$ પર વિધેય $f(x) = \log_e x$ માટે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $c$ ની કઈ કિંમત મળે?

અંતરાલ $[1, 2]$ માં વિધેય $f(x)=(x-1)^3(x-2)^5$ માટે રોલના પ્રમેયનો અચળાંક $c$ શું છે?

ધારો કે $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,અને $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ જ્યાં $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ જ્યાં $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ જ્યાં $x>0$,અને $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ જ્યાં $x>0$.
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ દરેક $x>1$ માટે,એક એવું $\alpha \in(1, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ દરેક $x>0$ માટે,એક એવું $\beta \in(0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3}{2}]$ પર વધતું વિધેય છે
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,બધા $x>0$ માટે
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,બધા $x>0$ માટે
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે

ધારો કે $f(x)$ અને $g(x)$ એ બે વિધેયો છે જે તમામ $x \ge x_0$ માટે વ્યાખ્યાયિત અને વિકલનીય છે. જો $f(x_0) = g(x_0)$ અને તમામ $x > x_0$ માટે $f'(x) > g'(x)$ હોય,તો:

ધારો કે $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$,તો -

ધારો કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે. જો $f(1) = -2$ અને $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \ge 2$ હોય,તો