अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_e x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार $c$ का क्या मान होगा?

रोल का प्रमेय $[-1, 1]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए लागू नहीं होता है क्योंकि

फलन $f(x) = x(x + 3)e^{-\frac{1}{2}x}$, $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $c$ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।

अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में $f(x)=\cos x-\sin 2x$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का स्थिरांक $c$ क्या है?

$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है, तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2a + 3b + 6c = 0$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल किस अंतराल में स्थित है?