ધારો કે f(x) એ [1, 2] પર સતત અને (1, 2) પર વિ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $f(x)$ માટે અંતરાલ $[1, x]$ પર લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2 \geq

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5}{2}$

Vedclass · Answer

(C) $f(x)$ માટે અંતરાલ $[1, x]$ પર લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2 \geq x - 1 \implies f(x) \geq x + 1$.અંતરાલ $[x, 2]$ પર $LMVT$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{f(2) - f(x)}{2 - x} = f'(c_2) \geq 1 \implies 3 - f(x) \geq 2 - x \implies f(x) \leq x + 1$.આમ,$f(x) \geq x + 1$ અને $f(x) \leq x + 1$ હોવાથી,$f(x) = x + 1$ મળે.હવે,$g(x) = \int_1^x (t + 1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_1^x = \frac{x^2}{2} + x - \frac{3}{2}$.અહીં $g'(x) = f(x) = x + 1 > 0$ હોવાથી $g(x)$ વધતું વિધેય છે.તેથી,$[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $g(2) = \int_1^2 (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2 = (2 + 2) - (0.5 + 1) = \frac{5}{2}$ થાય.

Similar Questions

જો વિધેય $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર રોલનું પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય અને $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $p$ અને $q$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[0, 1]$ અંતરાલ પર વિકલનીય વિધેય છે. તો, નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

વિધેય $f(x) = e^x$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર જ્યાં $a = 0$ અને $b = 1$ છે,ત્યારે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $c$ ની કિંમત શું થશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module