ધારો કે f એ [0, 1] અંતરાલ પર વિકલનીય વિધેય છે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ વ્યાખ્યાયિત કરો. કારણ કે $f$ એ $[0, 1]$ પર વિકલનીય છે, તે $[0, 1]$ પર સતત છે, અને તેથી સંકલન $\int_0^x f(t)

Vedclass · Accepted Answer

એવો $c \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\int_0^c f(x) dx = (1-c) f(c)$ થાય

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ વ્યાખ્યાયિત કરો. કારણ કે $f$ એ $[0, 1]$ પર વિકલનીય છે, તે $[0, 1]$ પર સતત છે, અને તેથી સંકલન $\int_0^x f(t) dt$ વિકલનીય છે. આપણે જોઈએ છીએ કે $g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) dt = 1 	imes 0 = 0$. તેમજ, $g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) dt = 0 	imes \int_0^1 f(t) dt = 0$. કારણ કે $g(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે અને $g(0) = g(1) = 0$ છે, રોલના પ્રમેય મુજબ, ઓછામાં ઓછો એક $c \in (0, 1)$ એવો મળે કે જેથી $g'(c) = 0$ થાય. વિકલન કરતા: $g'(x) = -1 \int_0^x f(t) dt + (1-x) f(x)$. $g'(c) = 0$ લેતા, આપણને $-(1-c) f(c) + \int_0^c f(t) dt = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\int_0^c f(t) dt = (1-c) f(c)$.

ધારો કે $f$ એ $[0, 1]$ અંતરાલ પર વિકલનીય વિધેય છે. તો, નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Similar Questions

બધા $x > e$ માટે $\left[ \frac{\log (x/e)}{x - e} \right]$ ની કિંમત કેટલી થાય? (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.)

ધારો કે $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1,$ તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module