मान लीजिए f(x) एक फलन है जो [1, 2] पर सतत है | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ के लिए अंतराल $[1, x]$ पर लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर:$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2

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$\frac{5}{2}$

Vedclass · Answer

(C) $f(x)$ के लिए अंतराल $[1, x]$ पर लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर:$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2 \geq x - 1 \implies f(x) \geq x + 1$.अंतराल $[x, 2]$ पर $LMVT$ का उपयोग करने पर:$\frac{f(2) - f(x)}{2 - x} = f'(c_2) \geq 1 \implies 3 - f(x) \geq 2 - x \implies f(x) \leq x + 1$.अतः,$f(x) \geq x + 1$ और $f(x) \leq x + 1$ होने के कारण,$f(x) = x + 1$ प्राप्त होता है।अब,$g(x) = \int_1^x (t + 1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_1^x = \frac{x^2}{2} + x - \frac{3}{2}$.यहाँ $g'(x) = f(x) = x + 1 > 0$ है,इसलिए $g(x)$ एक वर्धमान फलन है।अतः,$[1, 2]$ पर $g(x)$ का अधिकतम मान $g(2) = \int_1^2 (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2 = (2 + 2) - (0.5 + 1) = \frac{5}{2}$ होगा।

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