જો $a + b + c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના અંતરાલ $(0, 1)$ માં કેટલા બીજ હોય?

અંતરાલ $[1, 3]$ માં વિધેય $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો. $c \in (1, 3)$ શોધો જેના માટે $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ થાય.

ધારો કે $f''(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો $f(2) = 2$,$f(3) = 5$ અને $f(4) = 10$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ચોક્કસપણે સાચું છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વખત વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ અને $f(4)=-2$ છે. તો,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ ના શૂન્યોની ન્યૂનતમ સંખ્યા .................... છે.

કઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $K$ માટે સમીકરણ $2x^3 + 3x + K = 0$ ના બે વાસ્તવિક બીજ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોય?

જો $a + b + c = 0$ હોય,તો અંતરાલ $(0, 1)$ માં સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના કેટલા બીજ હોય?