यदि $a + b + c = 0$ है,तो समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के अंतराल $(0, 1)$ में कितने मूल हैं?

मान लीजिए कि $f(x)$, $[2,7]$ में एक अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=3$ और $(2,7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है, तो $x=7$ पर $f(x)$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

अंतराल $[-2, 2]$ में वक्र $y = x^3$ के बिंदुओं का भुज (abscissa),जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार अंतराल $[-2, 2]$ के लिए छेदक रेखा की ढाल के बराबर है,ज्ञात कीजिए:

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है, $(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

मान लीजिए $f(x)$ एक गैर-स्थिर दो बार अवकलनीय फलन है जो $(-\infty, \infty)$ पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f(x)=f(1-x)$ और $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ है। तब
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर कम से कम दो बार शून्य होता है
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$