ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વખત વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ અને $f(4)=-2$ છે. તો,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ ના શૂન્યોની ન્યૂનતમ સંખ્યા .................... છે.

ધારો કે $f''(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો $f(2) = 2$,$f(3) = 5$ અને $f(4) = 10$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ચોક્કસપણે સાચું છે?

જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a + 3b + 6c = 0$ અને ધારો કે $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
વિધાન $1:$ દ્વિઘાત સમીકરણને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન $2:$ રોલનું પ્રમેય અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $g(x)$ માટે લાગુ પડે છે.

ધારો કે $f(0) = -3$ અને તમામ $x$ માટે $f'(x) \le 5$ છે. તો $f(2)$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?

ધારો કે $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય વિધેય છે,જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1$ (બધા $x \in (1, 2)$ માટે) નું પાલન કરે છે. જો $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (બધા $x \in [1, 2]$ માટે) હોય,તો $[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.