मान लीजिए $y = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \sin x + \log_{e}(1+x)$ जहाँ $x > -1$ है। तो, $x = 0$ पर, $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ के फलनों को List-$II$ में दिए गए उनके अवकलजों के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec^{-1} x$	$I$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in (-1, 1)$
$B$. $\tanh^{-1} x$	$II$. $\frac{-1}{|x| \sqrt{x^2+1}}, x \neq 0$
$C$. $\coth^{-1} x$	$III$. $\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}, |x| > 1$
$D$. $\operatorname{cosech}^{-1} x$	$IV$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in R - [-1, 1]$
	$V$. $\frac{-1}{|x| \sqrt{1-x^2}}, |x| < 1, x \neq 0$

कथन: $x < 0$ के लिए, $\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{1}{|x|^2}$.
कारण: $x < 0$ के लिए, $|x| = -x$.

$\sqrt{\sec \sqrt{x}}$ का अवकल गुणांक है

यदि $y=\frac{\cos x}{1+\sin x}$ है,तो
$(a)$ $\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{1+\sin x}$
$(b)$ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\sin x}$
$(c)$ $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2} \sec ^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$
$(d)$ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} \sec ^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$

यदि $y = \sec(\tan^{-1} x)$ है,तो $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।