मान लीजिए f(x) = x^3, x in [-1, 1] है। तो निम | vedclass

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Question

(C, D) अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर फलन $f(x) = x^3$ दिया गया है।$1$. चरम मानों की जाँच: $f'(x) = 3x^2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है। चूं

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$f$, $[-1, 1]$ पर परिबद्ध (bounded) है

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(C, D) अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर फलन $f(x) = x^3$ दिया गया है।$1$. चरम मानों की जाँच: $f'(x) = 3x^2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है, इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है। अतः, $x = 0$ पर कोई स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम मान नहीं है। निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = -1$ पर $(f(-1) = -1)$ और निरपेक्ष अधिकतम मान $x = 1$ पर $(f(1) = 1)$ प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प $A$ और $B$ गलत हैं।$2$. सांतत्य: फलन $f(x) = x^3$ एक बहुपद फलन है, जो सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है, जिसमें $[-1, 1]$ अंतराल भी शामिल है। अतः, विकल्प $C$ सही है।$3$. परिबद्धता: चूंकि फलन $f(x)$ संवृत अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है, इसलिए 'एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम' के अनुसार यह परिबद्ध है। विशेष रूप से, सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $-1 \le f(x) \le 1$ होता है। अतः, विकल्प $D$ सही है।अतः, सही कथन $C$ और $D$ हैं।

मान लीजिए $f(x) = x^3$, $x \in [-1, 1]$ है। तो निम्नलिखित में से कौन से सही हैं?

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$f$ के सभी असातत्य (discontinuity) के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}, & -1 \leq x < 0 \\ 2x^2+3x-2, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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