मान लीजिए phi(x) = f(x) + f(1-x) और [0, 1] मे | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$.एकदिष्टता निर्धारित करने के लिए, हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x

Vedclass · Accepted Answer

$\phi$ अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ में एकदिष्ट वर्धमान और $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ में एकदिष्ट ह्रासमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$.एकदिष्टता निर्धारित करने के लिए, हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x)$.चूंकि $f^{\prime \prime}(x) यदि $x  f^{\prime}(1-x)$ क्योंकि $f^{\prime}$ ह्रासमान है।अतः, $x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) > 0$, इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ में वर्धमान है।यदि $x > \frac{1}{2}$ है, तो $x > 1-x$ होता है, जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) अतः, $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) < 0$, इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ में ह्रासमान है।

मान लीजिए $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$ और $[0, 1]$ में $f^{\prime \prime}(x) < 0$ है, तो

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