ધારો કે f એ [0, pi / 2] માં વ્યાખ્યાયિત એક અ- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન ક

Vedclass · Accepted Answer

$f(4/3) < 4/3$ અને $f(2/3) < 2/3$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ મળે છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$, જેનો અર્થ છે કે $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$. આમ, $f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$. ચલને અલગ કરતા, $\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$, જે $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ આપે છે. કારણ કે $f(0) = 0$, તેથી $\sin^{-1}(0) = 0 + C$, એટલે કે $C = 0$. આમ, $f(x) = \sin(x)$ અથવા $f(x) = -\sin(x)$. કારણ કે $f$ એ $[0, \pi/2]$ પર અ-ઋણ છે, તેથી $f(x) = \sin(x)$ હોવું જોઈએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે, $\sin(x) તેથી, $f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ અને $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ થાય છે.

Similar Questions

વક્ર $y=f(x)$ ના કોઈપણ બિંદુએ ઢાળ $\frac{dy}{dx}=3x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તે $(-1,1)$ માંથી પસાર થાય છે. તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

જો વિધેય $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = K$ નો ઉકેલ હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.

ચોક્કસ પ્રજાતિની સમય $t$ પરની વસ્તી $P=P(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dP}{dt}=0.5 P-450$ ને અનુસરે છે. જો $P(0)=850$ હોય,તો વસ્તી શૂન્ય થાય તે સમય છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module