જો વિધેય $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = K$ નો ઉકેલ હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.

એક ગોળાકાર ફુગ્ગાનું કદ અચળ દરે વધે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા $3$ એકમ હોય અને $3$ સેકન્ડ પછી તે $6$ એકમ થાય,તો $t$ સેકન્ડ પછી ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા શોધો.

એક શહેરની વસ્તી વધવાનો દર તે સમયે હાજર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે. $40$ વર્ષના સમયગાળામાં વસ્તી $30,000$ થી વધીને $40,000$ થઈ. કોઈપણ સમયે $t$ વસ્તી $P(t) = (a)(b)^{\frac{t}{40}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું હશે?

વક્રોના કુળનું સમીકરણ શોધો જેના માટે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ હંમેશા અચળ $(k)$ હોય.

વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} + x = k$ નો ઉકેલ . . . . . . દર્શાવે છે.

બેક્ટેરિયાની સંખ્યામાં થતો વધારો તે સમયે હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો મૂળ સંખ્યા $N$ એ $8$ કલાકમાં બમણી થાય,તો $24$ કલાક પછી બેક્ટેરિયાની સંખ્યા કેટલી હશે ($N$ માં)?