मान लीजिए P सदिशों overrightarrow{AB}=3hat{i} | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $	heta$, $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AP}$ के बीच का कोण है। चूंकि $P$, $AB$ और $AC$ से समान दूरी पर है, इसलिए $AP$, $\ang

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$\frac{\sqrt{30}}{4}$

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(C) मान लीजिए $	heta$, $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AP}$ के बीच का कोण है। चूंकि $P$, $AB$ और $AC$ से समान दूरी पर है, इसलिए $AP$, $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक है। मान लीजिए $\angle BAC = 2\alpha$ है। तब $\angle BAP = \alpha$ होगा।सबसे पहले, $\cos(2\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{(3)(1) + (1)(-1) + (-1)(3)}{\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}} = \frac{3-1-3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = -\frac{1}{11}$ की गणना करें।सर्वसमिका $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$ का उपयोग करते हुए, $1 - 2\sin^2(\alpha) = -\frac{1}{11}$, जिसका अर्थ है $2\sin^2(\alpha) = \frac{12}{11}$, इसलिए $\sin^2(\alpha) = \frac{6}{11}$ और $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{6}{11}}$।$	riangle ABP$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AP}| \sin(\alpha)$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर: $	ext{Area} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{\frac{6}{11}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{\sqrt{30}}{4}$।

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