मान लीजिए P_{1}: y = 4x^{2} और P_{2}: y = x^{ | vedclass

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Question

(C) $P_{1}: y = 4x^{2}$ और $P_{2}: y = x^{2} + 27$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $4x^{2} = x^{2} + 27$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं, जिससे $3x^{2} = 27$, अर्

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$12$

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(C) $P_{1}: y = 4x^{2}$ और $P_{2}: y = x^{2} + 27$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $4x^{2} = x^{2} + 27$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं, जिससे $3x^{2} = 27$, अर्थात $x = \pm 3$ मिलता है।$P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A_{1} = \int_{-3}^{3} ((x^{2} + 27) - 4x^{2}) dx = \int_{-3}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 \int_{0}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 [27x - x^{3}]_{0}^{3} = 2(81 - 27) = 108$ वर्ग इकाई।प्रश्न के अनुसार, $P_{1}$ और रेखा $y = \alpha x$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A_{2} = \frac{A_{1}}{6} = \frac{108}{6} = 18$ वर्ग इकाई है।रेखा $y = \alpha x$, $P_{1}: y = 4x^{2}$ को $4x^{2} = \alpha x$ पर काटती है, जिससे $x(4x - \alpha) = 0$, अर्थात $x = 0$ और $x = \frac{\alpha}{4}$ मिलता है।क्षेत्रफल $A_{2} = \int_{0}^{\alpha/4} (\alpha x - 4x^{2}) dx = [\frac{\alpha x^{2}}{2} - \frac{4x^{3}}{3}]_{0}^{\alpha/4} = \frac{\alpha}{2}(\frac{\alpha^{2}}{16}) - \frac{4}{3}(\frac{\alpha^{3}}{64}) = \frac{\alpha^{3}}{32} - \frac{\alpha^{3}}{48} = \frac{\alpha^{3}}{96}$।$A_{2} = 18$ रखने पर, $\frac{\alpha^{3}}{96} = 18$, इसलिए $\alpha^{3} = 18 	imes 96 = 1728$।अतः, $\alpha = \sqrt[3]{1728} = 12$।

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