मान लीजिए f और g ऐसे फलन हैं जो f(x+y)=f(x)f( | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f(y)$ और $f(1)=7$ है। यह $f(x)=a^x$ के रूप का फलन है। चूँकि $f(1)=7$ है, इसलिए $a^1=7$, अतः $f(x)=7^x$ है। दिया गया है

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$5$

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(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f(y)$ और $f(1)=7$ है। यह $f(x)=a^x$ के रूप का फलन है। चूँकि $f(1)=7$ है, इसलिए $a^1=7$, अतः $f(x)=7^x$ है। दिया गया है कि $g(x+y)=g(xy)$ और $g(1)=1$ है। $y=1$ रखने पर, हमें $g(x+1)=g(x)$ प्राप्त होता है। चूँकि $g(1)=1$ है, इसलिए सभी $x \in \mathbb{N}$ के लिए $g(x)=1$ होगा। दिया गया योग $\sum_{x=1}^{n} \frac{f(x)}{g(x)} = 19607$ है। फलनों का मान रखने पर, $\sum_{x=1}^{n} \frac{7^x}{1} = 19607$ प्राप्त होता है। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $7 + 7^2 + \dots + 7^n = 19607$। गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}$ होता है। यहाँ $a=7$ और $r=7$ है। $7 \left(\frac{7^n-1}{7-1}ight) = 19607$। $7 \left(\frac{7^n-1}{6}ight) = 19607$। $7^n-1 = \frac{19607 	imes 6}{7} = 2801 	imes 6 = 16806$। $7^n = 16807$। चूँकि $7^5 = 16807$ है, इसलिए $n=5$ प्राप्त होता है।

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