मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जो संबंध f(xy) | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ है। $xy$ से विभाजित करने पर: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. मान लीजिए

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = x \ln x + 2x$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ है। $xy$ से विभाजित करने पर: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. मान लीजिए $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. तब $g(xy) = g(x) + g(y) - 2$. मान लीजिए $h(x) = g(x) - 2$. तब $h(xy) + 2 = h(x) + 2 + h(y) + 2 - 2$,जो $h(xy) = h(x) + h(y)$ में सरल हो जाता है। यह कौशी का फलन समीकरण है,इसलिए $h(x) = c \ln x$. अतः,$\frac{f(x)}{x} - 2 = c \ln x$,या $f(x) = cx \ln x + 2x$. दिया है कि $f'(x) = c \ln x + c + 2$. $x = 1$ पर,$f'(1) = c(0) + c + 2 = 3$,इसलिए $c = 1$. अतः,$f(x) = x \ln x + 2x$. विकल्पों की जाँच करने पर,$f(x) = x \ln x + 2x$ विकल्प $B$ से मेल खाता है।

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