ધારો કે f એ વિકલનીય વિધેય છે જે f(xy) = xf(y) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે. $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. ધારો કે $g(x) = \fra

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = x \ln x + 2x$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે. $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. ધારો કે $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. તો $g(xy) = g(x) + g(y) - 2$. ધારો કે $h(x) = g(x) - 2$. તો $h(xy) + 2 = h(x) + 2 + h(y) + 2 - 2$,જે $h(xy) = h(x) + h(y)$ માં પરિણમે છે. આ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,તેથી $h(x) = c \ln x$. આમ,$\frac{f(x)}{x} - 2 = c \ln x$,અથવા $f(x) = cx \ln x + 2x$. આપેલ છે કે $f'(x) = c \ln x + c + 2$. $x = 1$ આગળ,$f'(1) = c(0) + c + 2 = 3$,તેથી $c = 1$. તેથી,$f(x) = x \ln x + 2x$. વિકલ્પો તપાસતા,$f(x) = x \ln x + 2x$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

Similar Questions

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $f: R \rightarrow R$ એવા કેટલા સતત વિધેયો છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) + f(2x) = 0$ થાય?

જો $f(x) = x^{2} - 3x + 4$ અને $f(x) = f(2x + 1)$ હોય,તો $x =$

જો $f$ એ એક વિધેય છે જે તમામ $x, y \in N$ માટે $f(x+y)=f(x) f(y)$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $f(1)=3$ અને $\sum\limits_{x = 1}^n {f(x) = 120}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ એવું હોય કે $2 f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ અને $S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$, તો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module