मान लीजिए कि एक फलन f: R rightarrow R सभी x, | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)f(y)$ है।$x=y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1))^2=3^2=9$.$x=2, y=1$ रखने पर,हमें प्राप्

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)f(y)$ है।$x=y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1))^2=3^2=9$.$x=2, y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=3^2 	imes 3=3^3=27$.गणितीय आगमन के सिद्धांत से,यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी $n \in N$ के लिए $f(n)=3^n$ है।हमें योग $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^{n} 3^i=363$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=3$,सार्व अनुपात $r=3$ और $n$ पद हैं।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$\frac{3(3^n-1)}{3-1}=363$.$\frac{3(3^n-1)}{2}=363$.$3(3^n-1)=726$.$3^n-1=242$.$3^n=243$.चूंकि $243=3^5$,इसलिए $n=5$ प्राप्त होता है।

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एक फलन $f: R \rightarrow R$ सभी $x, y \in R$ के लिए $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ को संतुष्ट करता है। यदि फलन $f$, $x=0$ पर अवकलनीय है, तो $f$ है:

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