मान लीजिए कि [cdot] महत्तम पूर्णांक फलन को दर | vedclass

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Question

(A) $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।अतः, $-1 \le \frac{4x+2[x]}{3} \le 1$, जिसका अर्थ है $-3 \le 4x+2[x] \le 3$.मान लीजिए $[x] = n$,

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$6$

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(A) $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।अतः, $-1 \le \frac{4x+2[x]}{3} \le 1$, जिसका अर्थ है $-3 \le 4x+2[x] \le 3$.मान लीजिए $[x] = n$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। तो $x \in [n, n+1)$.असमिका $-3 \le 4x + 2n \le 3$ हो जाती है, जिसे सरल करने पर $-3-2n \le 4x \le 3-2n$ प्राप्त होता है, या $x \in [\frac{-3-2n}{4}, \frac{3-2n}{4}]$.चूंकि $x \in [n, n+1)$, इसलिए $[n, n+1) \cap [\frac{-3-2n}{4}, \frac{3-2n}{4}] 
eq \emptyset$ होना चाहिए।$n = -1$ के लिए: $x \in [-1, 0) \cap [-\frac{1}{4}, \frac{5}{4}] = [-\frac{1}{4}, 0)$.$n = 0$ के लिए: $x \in [0, 1) \cap [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}] = [0, \frac{3}{4}]$.इन दोनों को मिलाने पर, प्रांत $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ प्राप्त होता है।अतः, $\alpha = -\frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{4}$.अब $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.अंत में, $12(\alpha + \beta) = 12 	imes \frac{1}{2} = 6$.

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