मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}}$ और

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$\frac{13}{8}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}}$ और $Q(x) = 2+e^{-2x}$ है।सबसे पहले, समाकलन गुणक $(I.F.)$ की गणना करें:$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \left( \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}} \right) dx} = e^{2\ln(x^3+2) - \frac{1}{2}\ln(2+e^{-2x})} = \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}}$.व्यापक हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।$y \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} = \int (2+e^{-2x}) \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} dx = \int (x^3+2)^2 \sqrt{2+e^{-2x}} dx$.यह विधि जटिल है; मूल समीकरण को सरल बनाने और $y(0) = 3/2$ का उपयोग करने पर, हमें $\alpha = \frac{13}{8}$ प्राप्त होता है।

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