$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}y = 1$ का हल है

यदि $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$ है,तो $y$ ज्ञात कीजिए।

यदि अवकल समीकरण $x y^{\prime}=y+x^2 \sin x$ का हल, $y(\pi)=0$ की शर्त के अधीन $y=f(x)$ है और $f(x)$ का $x=\alpha$ पर चरम मान (extreme value) है, तो

यदि अवकल समीकरण $(1+\log_e x) \frac{dx}{dy} - x \log_e x = e^y, x > 0$ का हल वक्र $f(x, y)=0$ बिंदुओं $(1,0)$ और $(\alpha, 2)$ से होकर गुजरता है,तो $\alpha^\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

सूची $I$ में दिए गए अवकल समीकरणों को सूची $II$ में उनके समाकलन गुणक (Integrating Factors) के साथ सुमेलित कीजिए।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

सही मिलान है:

अवकल समीकरण $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)