मान लीजिए f(x) = left| begin{array}{ccc} x^3 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.चूंकि सारणिक का अवकलन एक स

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$p$ से स्वतंत्र

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(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.चूंकि सारणिक का अवकलन एक समय में एक पंक्ति का अवकलन करके प्राप्त सारणिकों का योग होता है,और दूसरी तथा तीसरी पंक्तियाँ स्थिरांक हैं,इसलिए तीसरा अवकलज $f'''(x)$ पहली पंक्ति का तीन बार अवकलन करने से प्राप्त होता है:$f'''(x) = \left| \begin{array}{ccc} \frac{d^3}{dx^3}(x^3) & \frac{d^3}{dx^3}(\sin x) & \frac{d^3}{dx^3}(\cos x) \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$अवकलन करने पर:$\frac{d^3}{dx^3}(x^3) = 6$$\frac{d^3}{dx^3}(\sin x) = -\cos x$$\frac{d^3}{dx^3}(\cos x) = \sin x$अतः,$f'''(x) = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -\cos x & \sin x \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.$x = 0$ पर:$f'''(0) = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -\cos(0) & \sin(0) \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight| = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -1 & 0 \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.चूंकि पहली दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।अतः,परिणाम $0$ है,जो $p$ से स्वतंत्र है।

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,जहाँ $p$ एक स्थिरांक है। तो $x = 0$ पर $\frac{d^3}{dx^3} \{f(x)\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$ है,तो:

यदि आव्यूह $\begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $1$ है, तो:

यदि $y = \sin(px)$ और $y_n$,$y$ का $n$-वाँ अवकलज है,तो $\left| \begin{array}{ccc} y & y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 & y_5 \\ y_6 & y_7 & y_8 \end{array} \right|$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$ है, तो $\frac{d}{dx}(f(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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